好几个月没再继续, 挖坑不填是不对的, 还是继续写手记.

线性回归

线性回归一般用来学习一维自变量和一维因变量之间的线性关系. 如果存在一维自变量 x, 同时还有一维因变量 y = f(x), 如果有一堆对不同 x 下 y 的观测值, 即 的观测对, 且如果 x, y 之间存在较明显的线性关系, 可以用 f(x) = a*x + b 这样的方程表示, 则可以用线性回归的方法学习出 a 和 b 的值, 同时估计这个拟合方法的误差 r.

扩展一下, 线性回归也可以指 y = a1*x1 + a2*x2 + ... + ak*xk + b 这样多维自变量和一维因变量之间的线性关系 (多项式里自变量的最高幂次都是 1), 同样也可以用回归的方式学出来里面不同的系数和常数项的值. 只有一维自变量的称之为一元线性回归, 否则是多元线性回归.

判断线性回归好坏, 一般就用平方误差和来描述, 其表达为 (f(x1)-y1)2 + (f(x2)-y2)2 + ... + (f(xk)-yk)2), 此值如果为 0 则说明自变量和因变量存在完全的线性关系, 否则是近似线性, 越小近似的越好. 这个东西看着有没有一点面熟? 其实就是机器学习手记系列 2: 离线效果评估里最后提到的 MSE 的非平均版本.

解方程法

假如输入样本存在绝对的线性关系, 即最后的误差为 0, 则问题变为解二元一次方程 (一元线性回归里的系数加常数) 或 N+1 元一次方程 (多元线性回归里 N 个自变量的系数加常数). 这没什么好说的, 直接对原输入直接求解就行了, 类似计算方法这样的课本上有的是解法, 做梯度下降或牛顿法乃至矩阵分解都可以解.

梯度下降法

考虑到绝大部分情况下不存在绝对的线性关系, 则问题可以变成怎么求平方误差和的最小值点. 如果是一元线性回归, 目标函数变为 g(a, b) = (f(x1)-y1)2 + (f(x2)-y2)2 + ... + (f(xk)-yk)2

我们的目标就是让这个目标函数值最小, 选定一组 的初始值, 然后求其梯度方向, 每次前进一个小步长, 再求梯度前进, 直到目标函数值不再下降, 说明我们已经走到了一个极值点附近, 终止迭代. 对一元线性回归, 梯度方向是对函数求偏导得到的向量方向.

另外需要注意的是, 梯度下降不一定能找到最优解, 可能会在某个局部最优解那陷进去就出不来了.

这部分更详细的推导请见参考资料里 “机器学习中的数学(1)” 一篇, 里面的公式和图做的很赞, 思路也比我清晰.

牛顿法

梯度下降一般遇到的问题迭代步长不好选, 选太小到极值点太慢, 搞太大又会在极值点附近时因为步长太大跳过去了.

牛顿法最大的贡献就是同时给出了梯度方向和迭代步长, 几乎是一步到位的求解. 方法同解方程一样, 对新的损失目标函数求解, 只是一次解可能还不够好, 需要多做几次迭代. 一般梯度下降可能需要上千轮的迭代, 而牛顿法几次迭代就能到极值点了.

最小二乘法

伟大的高斯同学提出并证明了最小二乘法是最好解答, 证明过程略… 直接看维基或百度百科上的原文吧 (数学不好伤不起).

应用

虽然这个方法看起来很简单粗暴, 但是很多时候变化确实就是线性的. 比如在很多论文和工业实践中, 大家认为同等质量的广告或搜索结果, 放在从上到下不同的位置上, 其点击率和位置的关系符合线性关系, 即 ctr(rank) = a*rank + b.

在六月的一次随笔杂记里, 提到了这样的问题:

如下式子里不同的阿拉伯数字只是一个符号, 实际表示的可能是其他数字
967621 = 3
797321 = 1
378581 = 4
422151 = 0
535951 = 1
335771 = 0

根据上述式子, 判断下式等于?
565441 = ?

假设每个式子最后做的都是加法, 并把字符 0~9 映射到 x₀~x₉, 则统计不同字母出现的次数就可以列线性返程, 可以将第一个式子表示为

x₀*0 + x₁*1 + x₂*1 + x₃*0 + x₄*0 + x₅*0 + x₆*2 + x₇*1 + x₈*0 + x₉*1 = 3

其他类推. 对这堆式子求解就可以得到不同数字对应的真实数值, 可以得到 565441 = 1. // 具体代码和方法下次给出

参考资料

* Wiki Least squares: http://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares
* Wiki Mean Squared Error: http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_squared_error
* 中文维基 最小二乘法: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E6%B3%95
* 百度百科 线性回归: http://baike.baidu.com/view/449540.htm
* 百度百科 最小二乘法: http://baike.baidu.com/view/139822.htm
* 人人上的日志 幼儿园的题目和机器学习的关系: http://blog.renren.com/share/30314/13432269197
* 机器学习中的数学(1): http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/05/mathmatic_in_machine_learning_1_regression_and_gradient_descent.html

// 本文开写于 9.24, 拖到 10.26 才马马虎虎完成, 最后那个题的解也没写, 各种错乱后续再修改或补充吧